Big Bang – Poderemos um dia vê-lo?

-Não.

-Por que não?

-Porque já o vimos.

Antes de prosseguirmos no desenvolvimento desta afirmação, vamos, por um tempo, nos lembrarmos que quanto mais longe olhamos na direção das estrelas, mais para o passado estamos vendo as coisas, pois a luz leva um tempo para chegar aos nossos olhos. Assim, quando mais distante é um astro a ser observado, mais antiga é a sua imagem, pois estamos vendo como ele era e não como ele é.

Poderíamos concluir que, quanto mais poderoso fosse nosso instrumental, mais perto da imagem do Big Bang estaríamos e, então, seria uma questão apenas de aprimoramento técnico para chegarmos exatamente à imagem primordial.

Vamos classificar evento: Um evento é um acontecimento.

Para nos auxiliar nessa experiência de pensamento, vamos ver o que é um evento.

Evento é acontecimento que só pode ser sentido uma vez.

E é lógico isto; todos sabemos até intuitivamente o que é um evento.

Se este, qualquer, evento parece estar se repetindo é só aparência mesmo; será outro acontecimento semelhante, não aquele; só isto.

A Seta do Tempo indica que vamos sempre em frente, de modo que, se uma coisa foi vista, ela não mais se repetirá na sua forma física. Você pode rever a imagem de um evento, mas somente em filme; as consequências daquele fato só fizeram modificações no cotidiano naquela vez, no momento da gravação, em única vez, e não toda a vez que o filme é repassado.

E um filme precisa ser gravado no momento daquele fenômeno que consideramos um evento, e isto é bem claro. Bem claro mesmo, porque não podemos passar um filme de um evento se durante os fatos não houvesse uma câmera, ou um olho, ou um olho e um cérebro para memorizá-lo.

E qual foi a câmera, e qual foi o olho e o cérebro que estava presente no momento da grande expansão?

Qual foi? Qual foi! Ora, o nosso olho! O nosso! Fragmentado em íons, em subpartículas, em qualquer coisa infinitesimal que pudesse estar junto com todas as outras pré-coisas daquele momento; mas era o nosso olho.

Assim, estando todos presentes, evento do Big Bang já foi testemunhado, o evento aconteceu para nós.

Podíamos estar de costas, mas estávamos lá. Éramos rigrososamente parte dele. E não há memória daquele momento. E, como dito anteriormente, o evento passou.

E não mais podemos ter a informação, por que informação é o resultado útil da manipulação de dados imediatamente disponíveis, que, se conscientemente relacionados, levam à análise e a possível compreensão do que tais fragmentos até então desordenados poderiam nos dizer.

Assim, sem os fragmentos, não temos qualquer possibilidade de informação.

Finalmente, se observar os astros antigos for o mesmo que capturar registros fósseis do Big Bang, se sob aparato conveniente pudéssemos surpreender a criação do Universo, um verdadeiro paradoxo seria posto à nossa frente: o de ver nossa própria criação!

Vamos enxergar as distâncias entre os astros?

É impossível ao ser humano imaginar (elaborar uma pré-modelagem) o tamanho de algo se suas medidas são muito grandes.

Por exemplo, a distância entre a América e o Extremo Oriente.

Para isto usamos as escalas, que é o artifício de respeitar, de manter as proporções.

Assim, transformamos algo impossível de ser visualizado em seu real tamanho em medidas que visualmente podemos enxergar.

Para o ser humano, não importa o tamanho das coisas em valores absolutos, mas o quanto uma coisa cabe em outra, por exemplo, o quanto algo se parece em tamanho em relação a outro.

Por exemplo, se para nós é impossível imaginar a distância entre o Rio de Janeiro e São Paulo (distância muito menor do que o Brasil e o Japão), como vamos mentalizar a distância entre o Sol e Netuno? Ou qual a proporção mental que teríamos comparando a distância entre o Sol e a Próxima Centauri?

Podemos fazer uma escala.

Precisamos de uma medida real e atribuirmos a ela outra medida bem pequena. Assim, sabemos que esta medida pequena, no nosso papel, tem uma correspondência direta com aquela maior.

Por exemplo, em medidas astronômicas, vamos pegar o diâmetro do Sol: 1.392.000.000 m (). Esta é nossa medida real.

Agora, vamos dizer que a essa medida, a esse valor de 1.392.000.000m, vamos associar o número 0,01m (o mesmo que 1 centímetro) ( afirmação 1).

Logo, podemos desenhar no papel uma imitação do Sol com 1cm de diâmetro.

Mercúrio está a 57.900.000.000m do Sol ()

Vênus a 108.200.000.000m do Sol ().

Terra a 149.600.000.000m do Sol ().

Marte a 227.940.000.000m do Sol ().

Júpiter a 778.330.000.000m do Sol ().

Saturno a 1.429.400.000.000m do Sol ().

Urano a 2.870.990.000.000m do Sol ().

e Netuno a 4.504.300.000.000m do Sol ().

A estrela mais próxima está a 4,246 anos-luz do Sol. Como cada ano-luz corresponde a, aproximadamente, 10^16m, a distância dessa estrela ao Sol, em notação científica também, é de ().

Com esses valores reais das distâncias, vamos ver onde o planeta Mercúrio seria desenhado no nosso mapa escalado:

Se decidimos, se arbitramos, se forçamos 1.392.000.000m ser o mesmo que 0,01m (=1cm), por regra-de-três podemos dizer que a distância x de Mercúrio ao Sol (57.900.000.000m) equivale, no papel, também a

ou

Mercúrio ao Sol =

Veja que, para o planeta mais próximo do Sol, nossa escala, já ultrapassaria a borda de uma folha de papel A4 na orientação paisagem!!!

A estrela Próxima Centauri estaria muito mais longe.

Próxima Centauri ao Sol = , aproximadamente.

Equivaleria dizer que, estando o Sol (nesta nossa escala seu diâmetro valendo 1 cm) em Belo Horizonte, Próxima Centauri estaria em Três Rio, no Estado do Rio de Janeiro!

Eratóstenes, o genial

Eratóstenes de Cirene (276-194 AC), cujo nome aponta como a Líbia, no norte da África como sua localidade natal, era um gênio.

De ferramenta tinha apenas os olhos, porque, de resto, ele era todo inteligência.

O sábio grego calculou o comprimento da circunferência da Terra através de uma contagem de passos entre duas localidades de seu tempo e uma varinha espetada no chão. Para ele bastou pegadas na poeira e as medidas da varinha e da sombra projetada por ela para que ele alcançasse esse feito.

Detalhes de sua façanha você pode encontrar na Internet.

Este artigo aqui, modesto como sempre, oferece uma alternativa ao cálculo do gênio de Cirene, lançando mão de outro aqui mesmo publicado: Relação entre um arco de circunferência e sua corda (1)

Eratóstenes, fincando sua varinha no chão em Alexandria, verificou que ela projetava uma sombra de comprimento 10,1 cm.

O bastão, do chão até sua extremidade oposta, media 80 cm.

Logo, a tangente trigonométrica desse aparato era

Este valor corresponde, pelas tabelas de trigonometrica, ao ângulo de .

Guardemos este valor.

Eratóstenes contratou uma pessoa para andar entre duas cidades e a contagem dos passos foi transformada em uma medida de distância. de cerca de 839,95 km.

Guardemos mais este valor. Já temos o ângulo de 7,2 graus e um valor de 839,95 km.

Expliquemos que essa distância era da varinha espetada no chão até outra varinha àquela distância. Ou seja, entre uma varinha e outra havia 839,95 km de distância.

Temos de lembrar que a varinha primeira não projetava sombra (apontava diretamente para o Sol) e a outra, citada anteriormente no início deste texto, media uma sombra de 10,1 cm.

Pelo jeito, Eratóstenes já sabia que a Terra tinha um formato próximo do esférico.

Com base no artigo (1) citado acima, sabemos que o arco a é

(2)

Observando a expressão acima, veja que podemos calcular o raio r da esfera, que, no caso, é o da Terra. Sob estas condições, fazemos

Ou seja,

Em síntese, para calcular o raio da Terra precisamos apenas do seguinte:

a) Escolher duas localidades. Espetar uma varinha no chão perfeitamente na vertical na primeira localidade e outra na segunda, verticalmente também;

b) Calcular a distância entre a varinha na primeira localidade e a outra na segunda;

c) Quando for meio-dia exatamente na localidade da primeira varinha, medir a sombra projetada pelo Sol na segunda varinha;

d) Calcular o ângulo a partir da relação sombra/comprimento da segunda varinha (arcotangente da tangente trigonométrica da sombra/altura da varinha).

e) Aplicar a equação (2)

O que eu não entendi é como Eratóstenes sabia que, na primeira localidade, era exatamente meio-dia?

Cita a Wikipedia: “(Eratóstenes) tomou conhecimento de que no solstício de verão, na cidade de Siena (atual Assuão), ao meio dia, o Sol ficava quase exatamente no zênite, de modo que podia ser observado no fundo de um poço. Porém, em Alexandria, na mesma data e mesma hora, isso não era possível, pois o Sol não fica suficientemente perto do zênite.”

Isto é, Eratóstenes desprezou o erro que existia na hora entre as duas cidades, e considerou que podia usar a hora do meio-dia de Alexandria como se também em Siena fosse tal hora.

“[…]com esse cálculo, assume-se implicitamente que Siena e Alexandria estejam no mesmo meridiano, porém há uma diferença em torno de 2,98° de longitude entre as cidades, o que produz uma pequena diferença de 0,135%, que não é relevante em comparação a outras fontes de erro.”

Luz e sombra, astros e seus tamanhos, uma “viagem” espacial

Imagine uma luz pontual, isto é, uma fonte de luz que não seja muito grande.

Por exemplo, um único LED emitiria uma luz pontual. E vamos imaginar um LED poderosíssimo que teria uma potência luminosa igual à do Sol.

Vamos imaginar que temos um desses LEDs mágicos fixo numa posição e que temos também um anteparo distante dele.

Poderíamos perguntar: se puséssemos um objeto entre o LED e o anteparo, qual o tamanho da sombra que esse objeto faria no anteparo?

Vejamos: O objeto aqui, no diagrama, é a letra ó; o comprimento da sombra será S. A letra a está fixando a distância da fonte de luz ao objeto o e, finalmente, a letra d está informando a distância entre a fonte de luz e o anteparo.

Pela trigonomegia, vemos que a tangente trigonométrica da metade do comprimento da sombra, em relação à distância do ponto de luz ao anteparo, é igual à tangente da metade da altura do objeto em relação a sua distância à fonte de luz.

Logo,

(1)

A sombra S, então, depende da distância d da fonte ao anteparo, do comprimento do objeto o e da distância a da fonte ao objeto o.

Vamos fazer uns exemplos:

Podemos sugerir primeiro que o objeto o seja posicionado justamente na posição do anteparo. Neste caso, a e d teriam o mesmo valor:

Um objeto em tal posição projeta uma sombra do mesmo tamanho que sua dimensão original.

Por outro lado, se fosse possível o objeto o estar exatamente na fonte de luz, teríamos que a = 0 e d=0 e, assim,

Uma indeterminação! Vemos que é impossível pôr o objeto na mesma posição da fonte de luz, pois não projeta sombra.

Agora, estando o objeto o na metade da distância entre a fonte de luz e o anteparo, sua sombra projetada também seria a metade?

Não: estando o objeto o nesta posição (d/2), sua sombra seria o dobro de seu comprimento original.

Agora, vamos agora mudar o ambiente, nosso espaço de Gedanken.

Imagem de Sketchepedia no Freepik

Vamos ao espaço sideral: ao invés de uma fonte pontual de luz, imagine que temos nossos olhos naquela posição:

.

Nesse cenário, o objeto o representaria o diâmetro de um astro próximo e a “sombra” projetada no anteparo o diâmetro de um astro remoto exatamente eclipsado.

O astro o estaria a uma distância a conhecida; conheceríamos seu diâmetro também. Isto é, para todos os fins, os dois astros têm a mesmíssima medida aparente.

Podemos concluir, então que qualquer astro que estivesse totalmente oculto pelo objeto o, de modo que essa ocultação fosse exata pela justaposição desses diâmetros aparentes, tal objeto projetaria uma “sombra” S à distância d. De novo, o valor de S seria seu diâmetro aparente se estivesse à mesma distância de o.

É uma grande aventura pensar nisso.

Indo além, para fins “práticos”, vamos imaginar que temos um astro remoto nessa condição e que, por métodos já consagrados (uso da paralaxe, se possível, Lei de Hubble, etc), foi determinado estar a 5 anos-luz de nós.

Reafirmando: Esse astro está sendo eclipsado pelo planeta Marte. A superposição de Marte ao astro remoto é exata: não falta nem sobra diâmetro.

Supondo que Marte esteja em oposição e a 1,617 Unidades Astronômicas (1,617 x 1,496 x 10^8 km) do Sol e que seu diâmetro aparente visto da Terra é de 3,74” (segundos de arco), poderemos determinar o diâmetro aparente S desse astro, aplicando a equação (1), isto é

Mas, se estamos considerando a distância da Terra a Marte no nosso experimento, e não do Sol a Marte, então a distância de a a considerar é de 1,617 x 10^8 km, pois subtraimos 1 UA.

Substituindo as variáveis por seus valores (1 ano-luz, aproximadamente 10 x 10^12 km), temos que o diâmetro em segundos de arco desse astro remoto seria, se estivesse na mesma posição que Marte,

Esse astro, então, seria maior que Marte…

Se Marte, em seus aparentes 3,74 segundos de arco, tem o diâmetro real de 6.792km, então aquele astro remoto mediria em seu diâmetro

…

..e nós e Marte estaríamos dentro dele nesta nossa imaginação, pois a distância de nós a Marte é menor do que o raio deste gigante, se estivesse na posição de Marte!!!!

Este valor é muito grande, mas há realmente um astro conhecido que tem aproximadamente, esse diâmetro. É a estrela VY Canis Majoris, mas que está a 5.000 anos-luz. Isto também significa que, se esta estrela estivesse 1000 vezes mais próxima e se estivesse na mesma linha de visada, ela seria eclipsada por Marte; teria o mesmo diâmetro aparente.

Mas, será que estes cálculos estão corretos?

Hoje temos muitos registros precisos sobre distâncias, diâmetros, composições estelares e tudo que a alta técnica já aprendeu e sabemos que o Sol está a 1 UA (1,49 x 10^8 km) de distância de nós.

Vamos imaginar que não temos o registro do diâmetro do Sol. Qual seria ele? Podemos lançar mão do que foi mostrado aqui para calculá-lo?

Vejamos se podemos usar a ideia de eclipse.

Muito sortudo que somos, já vimos que a Lua, em seu diâmetro aparente, nos eclipses solares, ela cobre nossa estrela quase que perfeitamente. Se o modelo deste artigo estiver certo, podermos calcular o diâmetro do Sol quase que perfeitamente também.

Assim, por (1), teremos o diâmetro S‘ do Sol (Minutos de arco, se ele estivesse à distância da Lua).

Substituindo, o Sol está a 1 UA (d), a Lua tendo 30’02.33” (o) ( 30′ arrendodados para facilitar) de diâmetro aparente e, por fim, a distância da Terra à Lua a sendo de 384.000 km:

Por este valor, o Sol teria um diâmetro…

Como o diâmetro verdadeiro da Lua é de 3.474,8 km, então o Sol teria um diâmetro de

O valor verdadeiro, segundo a Wikipedia, é de 1.392.680 km.

O modelo, acredito, não é lá muito delirante…

Distância às estrelas

 Edwin Hubble
calculou a idade do universo através da variação da luz de algumas estrelas.

E calculou também a distância da Via Láctea a Andrômeda no mesmo procedimento.

Agora veja você, dito assim parece uma coisa fantástica, mágica, coisa de palco, mas não da realidade. É a hora em que os que não são curiosos já dão um sorrisinho de deboche, pois só mesmo um bobo poderia acreditar que isto se possa fazer.

Ou seja, por ignorância do próprio crítico, as coisas mais simples são um assombro.

E é mesmo simples a explicação pela qual Hubble conseguiu calcular a idade do universo, pois sua descoberta apoiou-se – o que sempre acontece – em conhecimento acumulado e de outras pessoas.

 Henrietta Swan Leavitt era encarregada de fazer um trabalho mecânico, o de catalogar estrelas examinando chapas fotográficas. Inteligente, a prática fez com que sua atenção fosse despertada para uma relação entre a magnitude absoluta de uma estrela e seu tempo de variação do brilho aparente.

Ela descobriu uma lei pela qual podia-se saber qual o brilho absoluto – o que não varia com a distância que se tem da estrela – com os períodos entre máximos e mínimos de brilho.

Assim, ela podia dizer que a estrela ‘x’ tinha uma magnitude absoluta – por exemplo, 12.0 – só de olhar o período entre os máximos e mínimos aparentes. Se outra estrela de mesma categoria (Cefeidas, por exemplo) tivesse o mesmo intervalo de tempo entre máximos e mínimos, ela também teria uma magnitude 12.

Ora, se uma estrela de magnitude 12 aparentemente nos parecesse como magnitude 18, pela lei do Inverso do Quadrado da Distância saberíamos a distância, porque a quantidade de fótons por medida quadrada (por exemplo, 10 fótons por m^2 no início)  decai com o tempo de viagem.

Hubble, assim, utilizou-se das tabelas de Leavitt para saber a distância da estrela cefeida em Andrômeda – por consequência da própria galáxia -, pois sabia de sua magnitude aparente, aquela que via pelo telescópio, e seu período de variação.

Na verdade, a energia é a mesma, porque a energia se conserva. O que decai é a densidade da energia (quantidade de fótons num espaço em forma quadrada), porque se compara a quantidade de fótons com a área em que eles passam. Quanto mais passa o tempo, maior fica a área e constante a quantidade de energia; logo, menor fica a densidade de energia, evidentemente.

Enfim, por causa da quantidade de fótons ser sempre a mesma desde a origem, numa área menor há mais densidade.

Mais uma vez, à medida que a energia vai se propagando, a área vai sempre aumentando e a energia fica constante. Assim, a densidade é menor a cada tempo.

Será que os risinhos cessaram?

Qual a área do Universo?

Os astrofísicos têm como modelo melhor aceito o do Big-bang.

Por ele, tudo que ‘existia’ estava reunido num único ponto que, por definição, não tem medida. De repente, há uma criação de espaço, a energia responsável transforma-se parcialmente em matéria e um aumento incessante da distância entre os elementos se inicia.

Daí nasceria tudo, inclusive o pensamento humano em que, bilhões de anos após o evento da criação do espaço, Euclides escreveu sua geometria.

Olhando para este velho mestre, podemos intuir que o Universo é esférico e que, assim, teria um volume e uma área.

Volume me parece ser algo não aceito entre os astrofísicos, pois o Universo não é euclidiano e, assim, possivelmente, sua área não será a da superfície de uma esfera também.

Entretanto, eles mesmos ‘explicam’ o fenômeno do Big-bang salpicando manchas de tinta sobre um balão de aniversário infantil e inflando-o para exemplificar a separação das galáxias, uma das outras, sem que haja um ponto central, do qual todas as outras poderiam ter como referência.

Então, não sendo euclidiano, mas podendo ser demonstrado como um balão, vamos calcular a superfície desse balão hipotético.

A área do balão é a área da esfera, que é dada por

( Fórmula 1)

Edwin Hubble, em 1929, calculou a velocidade com que as galáxias se afastavam da Via Láctea, chegando à seguinte equação:

onde ‘v’ é a velocidade da galáxia (em ), a Constante de Hubble e ‘d’ a distância da galáxia.

A Constante de Hubble, atualmente, é de , isto é 71 km por segundo, por Megaparsec.

Por este meio, calculou-se que o Universo tem 13,7 bilhões de anos de idade.

Vamos postular que o raio da esfera do balão-Universo expanda-se à velocidade da luz. Assim, o comprimento do raio, após 13,7 bilhões de anos (o raio atual),  será de

Fórmula 2

Mas, a equação está errada, porque as unidades não combinam. Precisamos transformar os anos em segundos.

Um ano tem

segundos, ou segundos.

Logo, a idade do universo em segundos será de

segundos, ou

segundos.

Assim, a Fórmula 2, poderá nos dar o raio do Universo, que será

,

que, simplificando, ficaria

,

que será

Fórmula 3

Pela Fórmula 1 e pela Fórmula 3, podemos dizer que a área do Universo, após todos esses anos, atingiu o valor de

Finalmente,

Tô com preguiça de calcular o volume atual, ‘dado’ por

Qual será a intensidade máxima de um campo gravitacional na vizinhança de um Pulsar?

Você já sabe que neste blog as respostas – os pretensos ensinamentos – são duvidosas, mas as perguntas não.

Então, volto a insistir, cuidado com as supostas afirmações aqui apresentadas em todos os artigos, porque, na verdade, não são afirmações. São apenas buscas por verdadeiras respostas. Desconfie sempre.

Nullius in verba, como é o lema da Royal Society.

Sou um curioso e gosto de pensar. E compartilhar o pensamento, mas não impor respostas e achados.

Pois bem.

Já apresentei aqui no blog, um artigo no qual eu ‘calculava’ o raio máximo de um Pulsar, como função do período de rotação de modo a não violar o limite da velocidade da luz em sua velocidade linear.

Pois bem, qual seria a intensidade do campo gravitacional (aceleração da gravidade) máxima na superfície de um Pulsar, que gira à taxa de t segundos, com uma massa M determinada e em seu raio máximo?

Lá, naquele artigo, o raio máximo era calculado como

Fórmula 1

sendo c a velocidade da luz e t o tempo de rotação em segundos.

Aí me perguntei: qual a intensidade gravitacional em um ponto qualquer acima de um Pulsar, objeto este a um raio qualquer? Qual o valor na periferia, na hipotética superfície desse objeto celeste?

Uma vez que tudo nesses domínios tem influência relativística e a Física Clássica não se aplica, e sendo eu um nada em relação à comunidade científica, posso falar bobagens à vontade sem custo. Isto é, como estando brincando, tudo vale. É como no cinema.

A intensidade do campo gravitacional é dada por

Fórmula 2

querendo dizer que g é diretamente proporcional à massa, mas inversamente proporcional ao raio ao quadrado, mas em quanto? O quanto será o valor da Constante Gravitacional Universal, G:

Na fórmula 2, a variável g é a intensidade do campo gravitacional, G a Constante Gravitacional, M é a massa do Pulsar e d a distância que vai da circunferência do Pulsar ao centro desse objeto.

Isto é, d é o mesmo que o raio do Pulsar.

Observe uma coisa: se a gravidade atua sobre pelo menos dois corpos e só há uma variável representativa de massa na fórmula, a M, onde está a outra massa?
Na verdade, deveria haver dois M (tal como m e M), mas no caso a fórmula simplifica a coisa e considera m tão insuficiente em massa que não é levado em consideração.

Então, para efeito do que queremos aqui, M é a massa do Pulsar.

Se d da fórmula 2 é o mesmo que o raio de um objeto, podemos dizer que a fórmula 1 pode ser usada como fonte dessa medida.

Podemos calcular a intensidade do campo gravitacional g máximo de um Pulsar combinando as fórmulas 1 e 2.

Melhorando

fórmula 3

Aqui temos M em kg, c em e t em segundos, resultando em Newtons (N).

Isto vai ficar uma maluquice.

Vou, primeiro, substituir o G:

Agora, a velocidade da luz:

Arrumando isto

Por causa da constante G – que tem kg com expoente negativo e que corta com os da velocidade da luz – e dos tempos em segundos (s e t), só vai sobrar N como resposta, que é mesmo o que significa a unidade de medida de g.

Ou seja, vai ficar

com M sem unidade de medida, apenas o número.

Mais uma coisa, a velocidade da luz é de 3 x 10^8 m por 1 segundo, logo s é 1, que deverá sumir da fórmula.

agora M e t sem unidade de medida.

Agora vamos brincar. Qual seria a intensidade do campo gravitacional do Pulsar PSR B1919+21 (o primeiro a ser descoberto), que tem um período de rotação de 1,3373 segundos e 1,4 massas solares?

Uma massa solar é o mesmo que .

Ou seja, no raio máximo que esse pulsar possa ter, é esta a força em Newtons (N) que uma partícula na ‘superfície’ deste Pulsar sofre.

Tá tudo errado? Possivelmente, mas é muito divertido tudo isto.

Qual será o comprimento de um arco em relação a sua corda?

Dado um arco qualquer, qual será a medida da corda que lhe faz referência?

Ou, qual será a relação que existe entre o comprimento de um arco e o da sua corda?

O arco depende do ângulo interno à circunferência à qual pertence; por sua vez, o comprimento da corda é dependente do comprimento do arco em questão.

Por exemplo, uma circunferência dividida em seis triângulos iguais (equiláteros) gera ângulos de 60 graus, pois a soma deles é 360 graus. E, pela Natureza, esses seis triângulos geram seis cordas, cada uma delas medindo o mesmo que o raio.

Isto é, o desenho das várias cordas resultam num hexágono inscrito na circunferência.

O ângulo interno seria assim:

O ângulo mede 60 graus neste exemplo.

Entretanto, podemos desenhar triângulos com várias aberturas angulares e, portanto, há uma infinidade de arcos e respectivas cordas que acompanham tais ângulos.

Mas, voltando à pergunta: Qual a relação que existe entre um arco e sua corda? Mais especificamente e a título de pesquisa haveria um padrão num quociente, se dividíssemos o comprimento de um arco pelo comprimento de sua corda? Qual seria o valor para cada medição?

Como o comprimento do arco depende do ângulo interno e quanto maior o ângulo, maior o arco, podemos dizer que a proporção ‘p’ do ângulo nos 360 graus de uma circunferência é

Ainda pelo exemplo dado, o ângulo  valendo 60 graus resultaria ‘p’ como

Ou seja,   da circunferência.

Podemos aproveitar isto e dizer que o arco ‘a’ correspondente ao ângulo  valendo 60 graus tem um comprimento que também será  do comprimento da circunferência. Ou seja,

Podemos vislumbrar, então, que o comprimento do arco, genericamente, é

que, simplificando

(1)

No caso do ângulo de 60 graus, simplificando,

Em termos gerais, se fizermos sempre o raio ser igual a 1, teremos

O arco correspondente a um ângulo de 60 graus, de raio valendo 1 (1 cm, 1 m, 1 km, etc) valerá sempre

Como também dissemos que, neste caso particular em que o ângulo interno corresponde a 60 graus, o raio mede 1 unidade qualquer e sendo esta unidade a mesma que se emprega na medida do arco, a corda medirá 1 unidade também.

Ou seja, arco ‘a’ sobre a corda ‘c’, será

Mas, um valor fixo não nos interessa, nos limita muito, de modo que precisamos sistematizar a abordagem para calcular a relação entre um arco e sua corda para quaisquer ângulos.

Pelo exposto, podemos afirmar então e de um modo geral, que o comprimento da corda pode ser calculada a partir do valor do raio e do do ângulo que lhe gera.

A partir da imagem, podemos dividir o ângulo em dois, o que produzirá também metade da corda.

Veja o desenho:

Assim, a corda será

(2)

Podemos então dizer que a relação que existe (equação 1 / equação 2) entre o comprimento de um arco e o de sua corda será

Substituindo,

Isto é,

Organizando,

Interessante que podemos simplificar retirando o raio

(3)

o que nos leva à conclusão de que não importa a área da circunferência, não importa o comprimento da circunferência, o valor da relação entre um arco e sua corda será sempre constante para aquele ângulo interno que os gera.

Talvez, para ficar um pouco melhor escrito:

De novo, dado um ângulo qualquer, não importa o tamanho da circunferência, a relação , isto é: será sempre constante.

(A equação (3) exige que o ângulo seja em graus)

Para ângulo em radianos,

(4)

Simplificando,

Área de círculo e área de quadrado – curiosidade

O comprimento da circunferência é o mesmo que perímetro. E perímetro é a soma das medidas dos lados dos polígonos.

Como o círculo é considerado como uma figura perfeita, não há como somar seus lados, de modo que dá-se o apelido de comprimento de circunferência ao perímetro do círculo.

A definição de área, informalmente, passa pela ideia de uma superfície confinada por uma fronteira, que é a linha que forma o perímetro.

A área do círculo é uma função de seu raio, assim como o comprimento da circunferência também dele depende.

Baseando-nos na ideia de superfície contida, então, façamos um experimento mental, pelo qual mediremos com um cordão a volta toda de um sólido de formato circular por um de seus meridianos máximos. Poderá ser uma bola ou uma roda de bicicleta . Este cordão medirá, naturalmente, o mesmo que o comprimento da circunferência da figura circular tida como base.

Se ajeitarmos sobre uma mesa este cordão de modo a reproduzir a forma circular, poderá ser calculada a área do círculo formado através da equação

Mas, se formarmos com este cordão uma outra figura fechada, como um quadrado, por exemplo, terá esta nova figura a mesma área do que o círculo original, uma vez que estamos usando a mesma medida geradora de ambas?

A área de um quadrado é

sendo ‘x’ a medida de um de seus lados.

A pergunta nos leva a escrever se a área do círculo é igual a área do quadrado sob estas mesmas condições.

Vamos lá.

Temos, como ponto de partida, o comprimento da circunferência, que, sob nossa pergunta, também é a medida que também deveríamos ter para o perímetro do quadrado. Então, faríamos

A partir destes dois blocos, podemos escrever um sistema que combine áreas com perímetros:

Quer dizer, a área do círculo sendo a mesma do quadrado e o perímetro de ambos também sob a mesma medida.

Por substituição, vamos isolar o raio ‘r’ a partir da equação do perímetro:

Agora, levando a definição de raio ‘r’ para a expressão que dá a área:

(?????)

Como não é 4, mas 3,14159…, postular que o mesmo perímetro resulte em mesma área é falso.

Ou seja, se valesse 4 é que as áreas seriam as mesmas.

Logaritmos – calculadora que não precisa de bateria

 

Você sabe que, sem uma calculadora, hoje em dia não se faz nada. E é o meio mais rápido de se fazer cálculos complicados em muito pouco tempo.

Não é verdade?

Não… Não é.

Pegue seu relógio e também pegue sua calculadora e descubra o resultado para

Anote o valor de ‘x’ e o tempo que você levou para isto.

Agora, imagine que você está num lugar onde não há calculadoras e nenhum outro aparato similar. Para seu conforto, digamos que você tem três coisas: um pedaço de papel em branco, um lápis e uma tabela (conforme abaixo) de logaritmos decimais:

 

TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS
número	Logaritmo	número	Logaritmo
1	0	50	1,69897
2	0,30103	51	1,70757
3	0,477121	52	1,716003
4	0,60206	53	1,724276
5	0,69897	54	1,732394
6	0,778151	55	1,740363
7	0,845098	56	1,748188
8	0,90309	57	1,755875
9	0,954243	58	1,763428
10	1	59	1,770852
11	1,041393	60	1,778151
12	1,079181	61	1,78533
13	1,113943	62	1,792392
14	1,146128	63	1,799341
15	1,176091	64	1,80618
16	1,20412	65	1,812913
17	1,230449	66	1,819544
18	1,255273	67	1,826075
19	1,278754	68	1,832509
20	1,30103	69	1,838849
21	1,322219	70	1,845098
22	1,342423	71	1,851258
23	1,361728	72	1,857332
24	1,380211	73	1,863323
25	1,39794	74	1,869232
26	1,414973	75	1,875061
27	1,431364	76	1,880814
28	1,447158	77	1,886491
29	1,462398	78	1,892095
30	1,477121	79	1,897627
31	1,491362	80	1,90309
32	1,50515	81	1,908485
33	1,518514	82	1,913814
34	1,531479	83	1,919078
35	1,544068	84	1,924279
36	1,556303	85	1,929419
37	1,568202	86	1,934498
38	1,579784	87	1,939519
39	1,591065	88	1,944483
40	1,60206	89	1,94939
41	1,612784	90	1,954243
42	1,623249	91	1,959041
43	1,633468	92	1,963788
44	1,643453	93	1,968483
45	1,653213	94	1,973128
46	1,662758	95	1,977724
47	1,672098	96	1,982271
48	1,681241	97	1,986772
49	1,690196	98	1,991226
		99	1,995635

Pela calculadora, você, antes de inserir os valores, teve de analisar por qual operação iria começar e, depois, as outras em sequência. Deve ter perdido preciosos segundos só nisto.

Veremos que nem sempre a tecnologia é aliada da eficiência. Quando você é que tem muito trabalho preparatório para que o aparato tenha facilidade para responder, isto não é justo, não é verdade?

Peguemos o problema proposto à unha, deixando, assim, a calculadora de lado. Veja que as coisas vão se sucedendo, sem você precisar de passos preparatórios e análise de procedimentos para começar a busca pelo resultado. Você vai indo, vai indo e, de repente, tem o valor.

Veja que faremos um mínimo de cálculo, mas bastantes simplificações.

Vamos modificar os valores apontados na questão inicial, substituindo cada um deles na equação pelo seu correspondente na tabela. Olhe o número na equação e procure o logaritmo desse número, substituindo-o por . Isto é,

Reescrevendo, temos

Você se lembra que, para multiplicar números de mesma base, basta manter a base e somar os expoentes, lembra? Então, vamos substituir novamente o numerador e o denominador pela soma dos expoentes:

Vamos simplificar o numerador:

Como está tudo elevado ao quadrado, vamos fazer

ou

Multiplicando os expoentes no numerador,

Como na multiplicação, em que se mantêm a base e se somam os expoentes, na divisão manteremos as bases e subtrairemos o expoente do dividendo pelo do divisor:

E agora? Agora é voltar à tabela de logaritmos e procurar o mais próximo de 1,312481179901001 que encontrarmos e descobrir o número associado. Esta será a resposta para ‘x’.

E o mais próximo é o número 20.

É claro que é uma aproximação, mas veja que o logaritmo é uma ferramenta sensacional.

E agora que você está afiado na técnica, veja quanto tempo você leva para executar os passos do que vai abaixo pela calculadora e pela tabela de logaritmos. Boa sorte!